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消遣时光

形状指数(shape index)

曲面的形状指数(shape index)由局部Hessian矩阵来表达,Hessian矩阵可由曲面法向量来近似

其中$(\cdots)_x$和$(\cdots)_y$分别表示括号里的矢量的$x$分量和$y$分量。

曲面的主曲率是此Hessian矩阵的特征值,可以通过解方程$\vert\mathcal{H}-\kappa\mathbf{I}\vert=0$来计算出特征值$\kappa_1$和$\kappa_2$,其中$\mathbf{I}$是单位矩阵。

Koenderink和van Doom[19]提出一种单值和角度化的测度,用主曲率来描述局部曲面拓扑。这个形状指数(shape index)定义为

当然,此公式也可以用曲面法向量表示

下图给出了形状指数的值域[-1,1],每个区间所表示的曲面类型。各形状依次为Cup, Trough, Rut, Saddle Rut, Saddle, Saddle Ridge, Ridge, Dome, Cap。

图1: 形状指数的值域及表示的形状

图2: 形状指数对应的形状一览表

参考文献