单纯复形(Simplicial Complexes)[译]

• 主题: 单纯形(simplices), 单纯复形(simplicial complexes), 抽象单纯复形(abstract simplicial complexes), 几何实现(geometric realization), 神经(nerves)
• 1999-01-04
• 原文

单纯形(simplices)

点，边，三角形，四面体是低维的单纯形例子。我们使用点的组合来定义一般维度上的单纯形。令$S$是一个$d$-维欧氏空间$\mathbb{R}^d$上的有限集合。这些点$p_i\in S$的一个仿射(affine)组合也是一个点$x=\sum\alpha_ip_i$，其中$\sum_\alpha_i=1$。$S$的仿射壳(affine hull)，记为$aff S$，是所有仿射组合的集合。等价的，它是所有包含$S$的超平面的交集。$S$中的点是仿射独立(affine independent, a.i.)，如果没有一个点是其它点的仿射组合。比如，三个仿射独立的点的仿射壳是一个平面，两个构成一条线，单个点得到这个点本射。

一个凸组合是一个系数非负的仿射组合: 对所有$p_i\in S$有$\alpha_i\ge0$。而凸壳(convex hull)，记为$conv S$，是所有凸组合的集合。等价的，它是所有包含$S$的半空间的交集。一个单纯形(simplex)是一个a.i.点集的凸壳。如果$S\subseteq \mathbb{R}^d$是一个包含$k+1$个a.i.点的集合，则此单纯形$\sigma=conv S$的维度为$dim\sigma = k$，且$\sigma$被称为是$k$-单纯形。$\mathbb{R}^d$中a.i.点的数目最多为$d+1$，我们得到的单纯形的维度从-1到$d$。图1显示了$\mathbb{R}^3$中的5种类型的单纯形。

图1: 空集是(-1)-单纯形，点或顶点是0-单纯形，边是1-单纯形，三角形是2-单纯形，四面体是3-单纯形

任意子集$T\subseteq S$中的点依然是a.i.，因此$T$的凸壳同样是单纯形。具体地说，当$p_i\in S$不在$T$中时，$\tau=conv T$是所有点$x\in\sigma$的子集，只不过系数$\alpha_i=0$。单纯形$\tau$是$\sigma$的一个面(face)，我们将这种关系记为$\tau\le\sigma$。如果$dim\tau=\ell$，则$\tau$称为是$\ell$-面。$\tau=\emptyset$和$\tau=\sigma$是非真面(improper faces)，其它的面都是$\sigma$的真面(proper faces)。$\sigma$的$\ell$-面的个数等于从$k+1$个点中选择$\ell+1$个点的组合数，即

因此总的面的数目是

单纯复形(simplicial complexes)

一个单纯复形是一个单纯的有限集合$K$，满足

• (i) 若$\sigma\in K$且$\tau\le\sigma$，则$\tau\in K$
• (ii) 若$\sigma,v\in K$，则$\sigma\cap v\le\sigma,v$

注意，空集$\emptyset$是所有单纯形的面，因此也属于$K$。第2个条件属性$\sigma$和$v$互不相交。图2中是违反了上述条件的3个单纯形集合，因此也就不构成复形。

图2. 左边缺一条边和两个顶点，中间两个三角相交于边片断，它不是任何三角形的边，右边边穿过三角形的内部点。

子复形(subcomplex)是一个本身是单纯复形的子集。注意，每个单纯形的子集都满足条件(ii)。为了满足条件(i)，我们添加一些面和单纯形到此子集中。正式地讲，一个子集$L\subseteq K$的闭包(closure)是包含$L$的最小子复形，即

一种特别的子复形是$i$-骨架(skeleton)，它由所有维度小于等于$i$的单纯形$\sigma\in K$组成。顶点集(vertex set)的定义是

顶点集基本等同于0-骨架，只不过不包含(-1)-单纯形。$k$的维度(dimension)是它的维度最大的单纯形: $dim K = \max\{dim\sigma \mid \sigma\in K\}$。如果$k=dim K$，则$K$是一个$k$-复形。如果它的每个单纯形都是$k$-单纯形的面，则此$k$-复形称为是纯粹(pure)的。单纯形所覆盖的点集的底空间(underlying space)是: $\vert K\vert=\cup K=\cup_{\sigma\in K}\sigma$。比如，一个多面体(polyhedron)是一个单纯复形的底空间。有时，考虑一个单纯复形的子结构是有用的。一个单纯形$\tau$的星(star)由所有包含$\tau$的单纯形构成，而它的链接(link)是星中不与$\tau$相交的单纯形的所有面。

见图3的例子，星一般是不封闭的，但链接总是一个单纯复形。

图3. 一个顶点的星(star)和链接(link)。左边的实线和阴影三角形表示实心顶点的星(注意虽然包括三角形，但是不包括外面的边，三角形和边都是单纯形)。右边的实心边和实心顶点为空心顶点的链接。

抽象单纯复形(abstract simplicial complex)

如果把单纯复形中的每个单纯形替换成它的顶点集，我们得到一个顶点集的子集构成的系统。这样做相当于丢弃了单纯形的几何结构，这样我们可以集中精力研究其组合结构。

正式地，有限集合的一个有限系统$A$是一个抽象单纯形(abstract simplicial complex)，如果$\alpha\in A$且$\beta\subseteq\sigma$蕴含$\beta\in A$。这个要求与几何单纯复形的条件(i)类似。一个集合$\alpha\in A$是一个(抽象)单纯形，它的维度是$dim\alpha=card\alpha-1$。$A$的顶点集是$Vert A=\cup A=\cup_{\alpha\in A}\alpha$。其它概念，如面，子复形，闭包，星，链接，都可以直接由几何单纯复形扩展至抽象单纯复形。

这个集合系统，加上集合间的包含关系，构成了一个半序集，或偏序集(poset)，记为$(A,\subseteq)$。偏序集通常使用Hasse图来表达，其中集合是结点，小结合在大集合下面，边则是包含关系。如图4。暗含的包含关系通常不画出来。

图4. 从左至右是空集，顶点，边，三角形和四面体的偏序集

为了画出一个$k$-单纯形的Hasse图，我们画两个(k-1)-单纯形的Hasse图。一个是$k$-单纯形$\alpha$的$(k-1)$-面$\beta$，另一个是顶点$u\in\alpha-\beta$的星的图。最后，将$u$的星中的每个单纯形$\gamma$连接到$\beta$闭包中的单纯形$\gamma-\{u\}$。

抽象单纯复形$A$是$Vert A$的幂集的子系统。我们可以因此而将其视为一个$n$-单纯形的子复形，其中$n+1=card Vert A$。这种视角可以用一个抽象复形的图来表达，如图5。

图5. 这个洋葱头是$Vert A$的幂集。水线下面的区域是抽象单纯复形。

几何实现(geometric realization)

我们可以将一个抽象单纯复形理解为几何单纯复形的抽象版本。为了形式化这个观点，我们定义一个抽象单纯复形$A$的一个几何实现(geometric realization)为一个单纯复形$K$，加上一个双射(bijection)$\varphi: Vert A\to Vert K$，使得$\alpha\in A$当且仅当$conv\varphi(\alpha)\in K$。反过来，$A$被称为是$K$的抽象(abstraction)。

给定$A$，我们可以寻找构成几何实现的最低维度。比如，图是1维抽象单纯复形，它总是可以在$\mathbb{R}^3$上实现。两个维度通常不总是足够。这个结果一般化到$k$维抽象单纯形上: 它们总是可以在$\mathbb{R}^{2k+1}$，且有时$\mathbb{R}^{2k}$不够。为了证明这个断言的充分性，我们将说明任何$n$-单纯形的$k$-骨架都可以在$\mathbb{R}^{2k+1}$上实现。将$n+1$个顶点映射到$\mathbb{R}^{2k+1}$上的一般的点上。特别地，我们要求任意$2k+2$个这样的点是a.i.。$k$-骨架的两个单纯形$\sigma$和$v$共有$2(k+1)$个顶点，因此它们是a.i.。换句话说，$\sigma$和$v$是同一个单纯形的面，而此单纯形最大维度不超过$2k+1$。因此，$\sigma\cap v$是两者共同的面。

定理1 任意$k$维抽象单纯形复形都有一个$\mathbb{R}^{2k+1}$上的几何实现。

神经(nerves)

一个构造抽象单纯复形的方便方法是使用任意有限集合。这样的一个集合$C$的神经(nerve)是无非空交集的子集的系统:

如果$Y\subseteq X$，则$\cap X\subseteq\cap Y$。因此，$X\in Nrv C$可得$Y\in Nrv C$，这表示神经是一个抽象单纯复形。考虑$C$是覆盖某个几何空间的例子，如图6所示。此覆盖中的每个集合对应于一个顶点，而$k+1$个有非空交集的集合定义出一个$k$-单纯形。

图6. 左边: 有8个集合的一个覆盖，右边: 它的神经。这些集合三元组中相遇，但不是四元组，这表示此神经是2维的。

之前，我们已经看到一个此构造过程的例子了。一个有限集$S\subset\mathbb{R}^2$的Voronoi区域定义了平面的一个覆盖$C=\{V_a \mid a\in S\}$。假定Voronoi区域一般成对相遇，在三元组中相遇，但不在四元组中相遇。因此，此神经只包含了抽象顶点，和三角形。考虑函数$\varphi: C\to\mathbb{R}^2$，它将一个Voronoi区域映射到它的生成器上: $\varphi(V_a)=a$。 这个函数定义了一个$Nrv C$的几何实现:

这是$S$的Delaunay三角化。如果$S$中的点不是一般位置呢？如果$k+1\ge 4$，Voronoi区域有一个非空公共交集，则$Nrv C$包含了相应的抽象$k$-单纯形。所以与其在$(k+1)$面体的可能的三角化中选择，此神经将所有可能的三角化合并起来，并将它们视为一个$k$-单纯形的子复形。此方法的缺点自然是$Nrv C$不再能够在$\mathbb{R}^2$上实现了。

参考文献

在20世纪的头50年，组合拓扑是一个繁荣的数学领域。我们将Paul Alexandrov[1]作为一个全面的参考文献，它最初是作为多本书发表的。拓扑学的许多技术性结果的促进下，该文献将此领域进行了基础性的重组织。组合拓扑的一个后继学科是代数拓扑，其重点由组合转移到代数结构。我们推荐James Munkres[5]作为该领域的入门书籍。

我们证明了每个$k$-复形可以在$\mathbb{R}^{2k+1}$上几何实现。需要$2k+1$维的$k$-复形例子参见Flores[2]和van Kampen[3]，他们的工作是独立的。这样的一个例子是$(2k+2)$-单纯形的$k$-骨架。对于$k=1$，这是5个顶点的完全图，是Kuratowski[4]找到的图的平面化的两个障碍之一。

• [1] P. S. Alexandrov. Combinatorial Topology. Dover, New York 1956.
• [2] A. Flores. Uber n-dimensionale Komplexe die in $R_{2n+1}$ selbstverschlungen sind. Ergeb. Math. Kol l. 6 (1933/34), 4-7.
• [3] E. R. van Kampen. Komplexe in euklidischen aumen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1933), 72-78.
• [4] K. Kuratowski. Sur le problme des courbes en topologie. Fund. Math. 15(1930), 271-283.
• [5] J. R. Munkres. Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, Redwood City, California, 1984.